Abstract
In this Note, we compare the space
VMO and the spaces
I
p
:
=
{
g
∈
L
1
(
Ω
;
R
)
;
∫
Ω
∫
Ω
|
g
(
x
)
−
g
(
y
)
|
>
δ
1
|
x
−
y
|
d
+
p
d
x
d
y
<
+
∞
∀
δ
>
0
}
where
Ω is a bounded open subset of
R
d
,
d
⩾
1
, and
p
⩾
0
. In particular, we prove that
I
d
⊂
VMO
. This sharpens the well-known result stating that
W
s
,
p
⊂
VMO
for
0
<
s
<
1
and
s
p
=
d
. Moreover, we establish that
VMO is much bigger than
I
d
by showing that
VMO
⊄
I
1
. We also present some results when the double integral above is taken on the set
{
(
x
,
y
)
∈
Ω
×
Ω
;
|
e
i
g
(
x
)
−
e
i
g
(
y
)
|
>
δ
}
.
Dans cette Note, nous comparons l'espace
VMO et les espaces
I
p
:
=
{
g
∈
L
1
(
Ω
;
R
)
;
∫
Ω
∫
Ω
|
g
(
x
)
−
g
(
y
)
|
>
δ
1
|
x
−
y
|
d
+
p
d
x
d
y
<
+
∞
∀
δ
>
0
}
,
où
Ω est un ouvert borné de
R
d
,
d
⩾
1
, et
p
⩾
0
. En particulier, nous prouvons que
I
d
⊂
VMO
. Ceci améliore le résultat bien connu affirmant que
W
s
,
p
⊂
VMO
pour
0
<
s
<
1
et
s
p
=
d
. D'autre part, nous prouvons que
VMO est plus grand que
I
d
; en fait
VMO
⊄
I
1
. Nous présentons aussi des résultats lorsque l'intégrale double ci-dessus est prise sur l'ensemble
{
(
x
,
y
)
∈
Ω
×
Ω
;
|
e
i
g
(
x
)
−
e
i
g
(
y
)
|
>
δ
}
.