Abstract
We consider complex-valued solutions
u
ε
of the Ginzburg–Landau on a smooth bounded simply connected domain
Ω of
R
N
,
N⩾2 (here
ε is a parameter between 0 and 1). We assume that
u
ε
=
g
ε
on
∂Ω, where |
g
ε
|=1 and
g
ε
is uniformly bounded in
H
1/2(∂Ω)
. We also assume that the Ginzburg–Landau energy
E
ε
(
u
ε
) is bounded by
M
0|log
ε|, where
M
0 is some given constant. We establish, for every 1⩽
p<
N/(
N−1), uniform W
1,
p
bounds for
u
ε
(independent of
ε). These types of estimates play a central role in the asymptotic analysis of
u
ε
as
ε→0.
Nous considérons des solutions à valeurs complexes
u
ε
de l'équation de Ginzburg–Landau sur un domaine borné régulier simplement connexe
Ω de
R
N
,
N⩾2 (ici
ε désigne un paramètre strictement compris entre 0 et 1). Nous faisons l'hypothèse
u
ε
=
g
ε
sur
∂Ω, où
g
ε
est une application donnée telle que |
g
ε
|=1 et
g
ε
est uniformement bornée dans
H
1/2(∂Ω)
. Nous supposons de plus que l'énergie de Ginzburg–Landau
E
ε
(
u
ε
) est bornée par
M
0|log
ε|, où
M
0 est une constante donnée. Nous montrons que pour tout
p inférieur strictement à
N/(
N−1),
u
ε
est bornée dans W
1,
p
, uniformément en
ε. Ce type de majoration joue un rôle crucial dans l'étude asymptotique de
u
ε
, lorsque
ε→0.